
\prob{0045}{特殊的三次方程}

求关于$x$的方程

\[ 21x^3 - x^2 - x = \frac13 \]

的实数根。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{$x = \sfrac13$}

\subsection{和立方公式}

基本思路：运用和立方公式

\[ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \]

求解。

将原方程变形为

\begin{align*}
  63x^3 - 3x^2 - 3x - 1 &= 0 \\
  x^3 + 3x^2 + 3x + 1 &= 64x^3 \\
  (x + 1)^3 &= 64x^3 \\
  x + 1 &= 4x \\
  x &= \frac13 \\
\end{align*}

综上，$x = \sfrac13$。
